Для этого в Америке есть equitation.
Кстати, не видела чтобы кто-то с лошади спрыгивал на маршруте. Если это не дерби, где скОчут в основном гран-при всадники, то это, в среднем, очень простые маршруты в расчет.
А еще есть такие веселые дисциплины как хантеры под седлом шаг-рысь, хантеры под...